定倾半径计算公式的证明

一、 定倾半径计算公式的证明

设浮体绕其浮面中心纵轴顺时针方向倾侧一微小角度θ，如图1-1所示。排水体积V0的形状由平衡时ABC的形状改变为A’B’C’，即相当于把三棱形水体OAA’从左方移到右方（OBB’）,因而浮心B0（ABC的形心）移到新位置B1(A’B’C’的形心)。

(a)(b)

图1-1 定倾半径

设浮体倾斜后的浮力为P’z。由于浮体的重量没有发生变化，所以P’z和正浮时的浮力Pz数值没有差别，只是浮力的浮轴两侧的浮力分布起了变化。在浮轴右侧，比之正浮时，增加了三棱形OBB’的排水体积，从而增加了一部分浮力ΔPz，方向向上。而在浮轴左侧，比之正浮时，减少了三棱形OAA’的排水体积，从而减少了一部分浮力，其大小也等于ΔPz，但方向向下。这样，我们可以把倾斜后的浮力P’z作为原来的浮力Pz加上三棱体OBB’的浮力ΔPz，再减去三棱体OAA’的浮力而成，即

P′z ＝ Pz+△Pz－△Pz

作为浮力的计算，上式仍然是P′z=Pz，浮力没有改变。然而，作为考虑由于浮力分布的改变所产生的浮力的力矩却是和正浮时有区别的。设由B0点到B1的垂线的垂距为l,则有浮力P′z对B0点的力矩为P′z·l。根据理论力学，合力对一轴之力矩等于其分力对同轴的力矩的代数和。于是得

P′z·l ＝Pz·0 ＋△Pz·s＝△Pz·sP′z＝Pz＝γV0

l ＝

△Pz·s

Pz

(1-53)

三棱体的浮力△Pz可以按以下方法求得，在三棱体中取一小微小体积dV[图1-1（b）]，

则式中，L为浮体长度，dw为浮面上的微小面积。因此，这个微小体积所产生的浮力