2007-12-12

直线方程问题

解:(1)。AX+BY+C=0 的斜率k=-A/B。那么y=(-A/B)X就是过原点且与该直线平行的直线,在此直线上,以原点为起点,取长度为1的矢量作所求直线的方向矢量,此方向矢量的斜率tanӨ=-A/B,cosӨ=B/√(A²+B²),sinӨ=-A/√(A²+B²),即方向矢量为(B/√(A²+B²),-A/√(A²+B²))。 但这样很麻烦,一般把它扩大√(A²+B²)倍,即取(B,-A)作方向矢量。更明确一点就是：直线AX+BY+C=0的方向矢量...全部

解:(1)。AX+BY+C=0 的斜率k=-A/B。那么y=(-A/B)X就是过原点且与该直线平行的直线,在此直线上,以原点为起点,取长度为1的矢量作所求直线的方向矢量,此方向矢量的斜率tanӨ=-A/B,cosӨ=B/√(A²+B²),sinӨ=-A/√(A²+B²),即方向矢量为(B/√(A²+B²),-A/√(A²+B²))。

但这样很麻烦,一般把它扩大√(A²+B²)倍,即取(B,-A)作方向矢量。更明确一点就是：直线AX+BY+C=0的方向矢量S=Bi-Aj。(2)。求直线的法向量的问题,实际上是如何把直线的一般方程AX+BY+C=0变为法线式方程xcosӨ+ysinӨ-p=0的问题。

因为二者表示同一条直线,因此有：cosӨ/A=sinӨ/B=-P/C=λ（常数）所以cosӨ=λA……(1)sinӨ=λB……(2)-P=λC……(3)(1)²+(2)²,得cos²Ө+sin²Ө=(λA)²+(λB)²,于是得λ=1/[±√(A²+B²)],故cosӨ=A/[±√(A²+B²)]。

sinӨ=B/[±√(A²+B²)]。-P=C/[±√(A²+B²)]。其中λ=1/[±√(A²+B²)]叫做法线化因子。

P是原点到直线的距离。Ө就是从原点向直线所作垂线的倾角。(cosӨ,sinӨ)就是直线的法向量的坐标,即法向量n=icosӨ+jsinӨ。

这里还有一个符号的选取问题。说来话长,我把结论写出来：(1)。当C≠0时,λ与C异号；(2)。当C=0,B≠0时,λ应与B同号；(3)。当C=0,B=0时,λ应与A同号。Ө叫做法线的幅角,是从X轴的正向依反时钟方向转到法线的正方向所成的角。

(1)。当直线不过原点时,规定从原点向直线作垂线,垂足为N,那么ON所表示的方向就是法线的正方向。此时,0≤Ө≤2π。P>0。(2)。当直线过原点且不与Y轴重合时,规定向上的方向为法线的正方向。

此时0≤Ө＜π,p=0。(3)。当直线过原点又与Y轴重合是,规定向右的方向为法线的正方向,此时,Ө＝0,P=0。。收起