群论和拓扑学有什么关系

（文/方弦）

群论可以说是由伽罗华一手开创的数学分支，它主要研究的是各种对称性。可以说，群就是对称性的本质。而拓扑学则可以追溯到欧拉，它研究的是空间中连续变化的不变性。可以说，群论生来就属于代数的范畴，而拓扑学则是脱胎于分析。两个理论刚提出的时候，的确也没有什么关系的。

但数学毕竟是研究抽象结构的学科，在一个分支里碰见另一个分支研究的结构是常事，而往往这样的情况就会导致交叉分支的产生，很多非常漂亮的数学就是这样来的。于是，在这里有两种可能性：群论中出现了拓扑结构，或者拓扑研究中出现了群。

我们先来谈第一种情况。群就是对称性，一般我们说到对称性，都会想起梅花的五重对称之类的有限对称性，但无限的对称性也是存在的。如果将群的元素的集合看成一个空间，有时候我们可以定义相应的拓扑空间，使得群的运算跟拓扑空间本身能和谐共处，用数学术语来说，就是令群的运算和逆元都成为拓扑空间中的连续映射。这样的话，群加上群上面定义的拓扑空间，就变成了所谓的“拓扑群”。拓扑群无处不在，比如说实数和加法组成的群，再加上我们一般定义的实数上的拓扑，就是一个拓扑群。

研究拓扑群的数学分支，就是拓扑群论。因为群是一个非常好的结构，拥有很多很规整的性质，所以在它上面定义的拓扑空间通常也会有很好的性质。而通过一些拓扑性质，比如说紧性，我们可以将有限群论中的很多结论推广到某些无限的拓扑群上。在有了拓扑之后，我们下一步还可以给群加上测度，比如说最自然的哈尔测度，由此又可以进入更广泛的调和分析这个领域。拓扑群论中研究的一些群也非常重要，比如说李群，几乎就是现代物理的数学基础之一。

另一个方向，就是在拓扑研究中出现的群。这主要就是代数拓扑这个分支会做的事情。在这个分支中，我们用到的不仅有群，还有别的代数结构。在代数拓扑中，我们通常会尝试向拓扑空间赋予某种代数结构，然后通过分析这些代数结构，找出一些可以对这些空间进行分类的代数不变量。

（图片来自维基百科）

举个例子，给定一个二维紧致闭曲面，我们可以通过合适的三角剖分来在上面构造一个图。如果考虑图的环路组成的群，以及它跟三角形三条边加起来生成的群的话，两者的商就给出了一个自由群，而这个自由群的生成元个数就对应着曲面的欧拉不变量，也就是唯一的拓扑不变量。当然，在这个情况下可以通过直接计算图的欧拉示性数来得到欧拉不变量，但我们刚刚说到的方法可以轻易推广到更高的维度，这其实就是所谓的同调群。由此派生出的上同调群是代数几何中承前启后的重要数学对象。

所以说，这两个领域虽然看似没有关系，但随着数学的发展，它们之间就自然发生了关系。这样的故事，在许多不同的数学分支之间也在上映着。

洛天依的妄想症系列是什么故事

是这样的：

（泠，零重）零羽在过生日那一天得到了泠珞的礼物，发了微博回家，母亲正在与父亲吵架，混乱中砍伤了零羽的手。零羽退出比赛，泠珞认为零羽背叛了她，进入妄想。

（一重）被与偶像形象重叠的加害者——颜语出现了，称呼泠珞为“主人”，此时为被害妄想症。

（二重）加害者被泠珞用格洛枪打出来的三发子弹死亡，一发命中纹身，一发命中眼睛，还有一发命中心脏。此时为影响妄想症。

（三重）泠珞遇上守护者——颜语，与他谈了一场轰轰烈烈的恋爱，与此同时，潜意识因守护者和加害者容貌相似而苏醒。此时为情爱妄想。

（四重）潜意识告诉泠珞这一切都是妄想，而守护也感觉到不对劲，立下了faly，而加害也因为泠珞的恐惧复活。此时为自罪妄想。

（五重）泠珞去悼念已经死去的零羽【在妄想中，名为背叛者】，而零羽也化为拯救者去告诉泠珞真相。

（番外）这里是守护者与加害者打斗。

（六重）守护者倒戈，与加害一起杀死泠珞，却在加害杀死泠珞前一秒为泠珞挡刀，死后化为零羽的流苏，指明了守护和加害都是从偶像和零羽中提取的。此时为嫉妒妄想。

（七重）泠珞选择相信潜意识，而潜意识也被加害差点谋杀，以至于零羽的流苏救了她一命。之后加害与潜意识同归于尽，泠珞回归。此时为疑病妄想。

（八重）泠珞回归“现实”，就像一切都没有发生一样，没有残酷的加害和痴情的守护，更没有理由的不要不要的潜意识【因为都领了盒饭】，不过她忘不了零羽。此时为初始妄想。

（九重）泠珞被身为心理医生的零羽救出，两人再续前缘，回到第五音附中完成自己的梦想。

洛天依妄想症系列

妄想症系列 （音乐） 妄想症系列是由DELA&雨狸所组成的组合共同创作的VOCALOID的系列角色歌曲，歌词猎奇黑暗，主要由DELA上载，洛天依、言和与乐正绫演唱。

具体剧情如下

一重加害：开头零羽（乐正绫）跳楼便当，泠珞（洛天依）不能接受挚友自杀，于是泠珞表现出被害妄想的症状，潜意识把两人的偶像颜语（言和）和零羽的形象重叠，妄想出了杀害零羽的凶手即加害者颜语，加害者前来杀死泠珞。接下来进入二重。

二重变革：面对加害者，泠珞表现出影响妄想·逆的症状，具体妄想出来的东西可以看PV，是杀死加害者的方法。加害者称泠珞不能将他杀死【这个也是有原因的】，最后加害者的躯体被时间轴的准线【其实这我不太懂】分割，加害者说一定会再相见【四重】。接下来进入三重。

三重爱恋：泠珞遗忘了前两重的记忆，开始渴望有人能保护她，表现出情爱妄想的症状，在加害者的形象上妄想出了守护者颜语，中间都是秀恩爱+宣传七罪，最后潜意识泠珞觉得守护者形象很熟悉，并回忆起前两重所发生的事情。接下来进入四重。

四重罪孽：潜意识泠珞觉得守护者是个谎言，因为他是加害者的形象转变而来，被害者泠珞的内心开始争辩，潜意识泠珞觉得是自己召唤出了加害者，被害者泠珞觉得自己太懦弱才召唤出了守护者，内心感到自己罪孽深重，这是自罪妄想的症状。同时守护者觉醒加害者的记忆，同时男友力爆表www，加害者随着潜意识的觉醒而向下穿越【可能是说穿越到四重】，最后的南北合唱，零羽所唱的部分，前两个她应该是指零羽，也表明了零羽希望拯救泠珞的愿望。

五重空洞：在加害者穿越到四重的这段空白时间【空洞】，潜意识泠珞开始了与背叛者零羽的对话。从歌词可以看出泠珞很爱零羽，潜意识里也不接受零羽死亡。【前面说了加害者是颜语和零羽的重叠，泠珞不希望零羽死，也就杀不了加害者】，但在这重潜意识发觉了零羽“永远不会再回来”，零羽想让泠珞逃离这个妄想世界，最后潜意识开始回望现实，并决定拯救自己。【最后是潜意识举着一把枪，谁面对着枪口】

妄想症的故事是这样的：

（泠重）泠珞因自己的曲子被抄袭后又被骂而十分伤心，但是零羽的鼓励让她重获希望

（零重）但是零羽因右手被妈妈弄伤后再不能弹奏乐器而退出乐队，使泠珞陷入重重妄想

（一重）泠珞妄想出零羽自杀，然后扭曲零羽和颜语而诞生了加害者

（二重）泠珞意识到自己可以操控妄想世界中的事物从而打败加害者

（三重）妄想出了守护者，陷入爱恋

（四重）而因为潜意识的苏醒带来了之前的记忆导致加害者复活

（五重）回想起曾经和零羽的一点一滴

（攻受）加害者找到守护者

（六重）加害者和守护者一起去清除泠珞记忆中的零羽，守护者在最后一刻替泠珞挡住了加害者的刀而牺牲，留下了零羽的核

（七重）加害者杀 死潜意识想让泠珞永远陷入妄想

（八重·伪）泠珞已经做出觉悟回归现实，妄想世界结束

（八重·真）零羽一直在以心理辅导师的身份帮助泠珞回归现实

（九重）he结局，完结撒花，皆大欢喜

可以去轻文轻小说上搜妄想症可以看，7重以后要付费，非常好看，剧情性十足。