三种方法推导 圆的面积公式 - 微积分应用

本文通过3种方法推导出圆的面积公式。

其中2种用到了微积分

第一种：几何切割法（微分思想）

1）过圆心将圆无限切割成上下2块锯齿状图形

2）将2块锯齿状图形合并成一个长方形

3）圆面积=长方形面积

第二种：圆环分割微积分法（参考3blue1brown视频）

1）将半径为R的圆切割成很多厚度为dr的圆环

圆环

2）任取一圆环分析。

假设从大圆圆心到圆环长度为r，

当dr趋近于0时，将圆环展开后的图形近似为一个长方形。

如下图：

任取一圆环分析

3）将所有的圆环展开，得到类似下图：

利用积分形式同样可得到：

第三种：切片分割微积分法

1）将圆无限分割成厚度为dr的薄片

2）分析其中任意一张薄片AB(位于 4分之1圆 内)：

假设 圆的半径为 R，圆心到薄片的距离为r，薄片的厚度为dr，角度为θ

则薄片的面积：

等价于积分形式：

这种积分形式比较难以求解，采用换元法求解：

代入上式：

得到圆的面积：

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